以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

“曲中求直,蓄而后发,此谓借力打人,四两拨千斤也”。出自武术大家李亦畲的《五字诀》,用于说明太极之奥义。

今天介绍一个平面向量的极化恒等式,亦有“四两拨千斤”之妙。一个公式,六种用法,小公式,大力量!

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

求解数量积常用的方法基底法、坐标法和图形法(几何意义法),但有时其解题过程运算复杂、过程繁冗,经常导致错误。此时若能巧用极化恒等式,往往化繁为简,快速找到解题突破口。本文以近几年高考、模拟试题为例,对极化恒等式在数量积问题中的应用进行分类整理,有助于学生成绩快速提升!

定理:设a,b是平面内的两个向量,则有a·b= 1/4[(a b)²-(ab)²].

推导方式比较容易,只需将右侧平方公式打开即可!

几何意义:△ABC中,AD为中线。则有:

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

极化恒等式的几何意义

即:向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差,揭示了三角形中线与边的关系,也可以理解为向量的数量积可表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1/4。

特征:两个向量必须共起点,点D是两个向量夹角所对第三向量(这两个向量之差)上的中点。

题型一:三角形中数量积

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

【点评】利用极化恒等式构造方程组,从而求出数量积的值。对于从中线与底边这两个方向寻找基底向量的数量积问题,可以运用极化恒等式,把数量积转化为数量的运算,大大简化计算量!

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

【分析】此题是最值问题,标准答案是坐标法。计算量较大,此时利用极化恒等式直接将数量积转化,利用均值非常简单。

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以下是几道三角形模型适合极化恒等式关于数量积的练习题。用来给学生练习使用。

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

题型二 四边形中数量积

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

配套练习

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

题型三 圆形中数量积

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

配套练习

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

题型四 圆锥曲线中数量积

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

配套练习

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

题型五 立体几何中的数量积

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

配套练习

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

题型六 多动点数量积

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

【分析】此题初看是可以使用极化恒等式求解,但学生一经分析便遇到了两个动点的困难,成了许多学生的“拦路虎”,此题需要结合转化的思想,挖掘静态条件,从而进行突破。需要将向量BP转化为向量BC 向量CP处理。

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

【点评】遇到多动点的问题的时候,要考虑“化动为静”,逐渐将多动点转化为少动点,这是一个重要的解题思想。

配套练习

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题


以小博大,很多数学老师不知道的极化恒等式,解决6类平面向量问题

版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至89291810@qq.com举报,一经查实,本站将立刻删除。
(0)
上一篇 2024年4月23日 上午11:20
下一篇 2024年4月23日 上午11:26

相关推荐

  • 六年级休学一年可以直接上初中吗(小学六年级休学能上初中吗)

    小学六年级休学能上初中吗? 在小学六年级的时候,我曾经想过要休学一段时间,以便能够更好地准备上初中。但是,我一直不确定休学是否能真正帮助我实现目标。因此,我想在这里讨论一下这个问题…

    教育百科 2024年6月30日
  • 如果你的孩子沉迷手机你该怎么办(你的孩子沉迷于手机)

    你的孩子沉迷于手机 近年来,手机已经成为人们生活中不可或缺的一部分。然而,一些人却将手机变成了一种沉迷于它的工具。你的孩子就是其中的一种。 作为家长,你可能会感到担忧和困惑。你担心…

    教育百科 2024年8月29日
  • 中专休学需要留级吗(中专护理专业住院休学)

    中专护理专业住院休学 作为一名中专护理专业的学生,我曾经为自己未来的职业前景充满了希望和憧憬。然而,我最近不得不面对一个令人沮丧的现实:我生病了,需要住院治疗。 这次住院,让我深刻…

    教育百科 2024年6月26日
  • 中班孩子厌学怎么办(中班孩子厌学症状)

    中班孩子厌学症状 随着幼儿园年龄段的增加,中班孩子的厌学症状也日益明显。这些孩子们开始表现出对学校和学习的不感兴趣,甚至对学习产生了厌恶情绪。这给他们的学习和生活带来了许多问题。 …

    教育百科 2024年9月10日
  • 七律长征赏析

    七律长征赏析 长征是中国历史上一座重要的里程碑,它发生在1934年至1936年,是中国共产党领导的工农红军为了摆脱敌人的围追堵截,以及克服路途中的重重困难,进行的一次大规模的战略转…

    教育百科 2024年12月26日
  • 怎样限制孩子玩手机游戏我有网瘾了怎么办

    怎样限制孩子玩手机游戏 随着智能手机和互联网的普及,越来越多的人沉迷于玩手机游戏。对于孩子来说,玩手机游戏也可能成为一种不良的习惯,例如网瘾。因此,如何限制孩子的玩手机游戏时间,预…

    教育百科 2024年10月10日
  • 宝宝能玩的手机游戏孩子爱玩手机怎办

    宝宝能玩的手机游戏孩子爱玩手机怎办 随着科技的不断发展,手机已经成为人们生活中不可或缺的一部分。其中,手机游戏也成为了许多家长的担忧。因为他们担心孩子过度沉迷于手机游戏,影响他们的…

    教育百科 2024年8月19日
  • 孩子玩手机好我要玩小孩的游戏

    孩子玩手机好,我要玩小孩的游戏 近年来,随着智能手机和平板电脑的普及,孩子们开始使用手机和游戏,成为了一个普遍的现象。然而,对于家长来说,他们开始担心孩子们过度使用手机和游戏会对他…

    教育百科 2024年9月29日
  • 2025年高考录取完整时间线安徽

    2025年安徽高考录取完整时间线如下: 2025年安徽高考时间为6月7日至8日。考试科目为语文、数学、外语、物理、化学、生物和政治、历史、地理、艺术、体育、通用技术等科目。 高考录…

    教育百科 2024年11月27日
  • 小孩爱玩的手机游戏网瘾的危害

    小孩爱玩手机游戏网瘾的危害 随着科技的不断发展,手机游戏已经成为了许多孩子生活中必不可少的一部分。手机游戏不仅可以让孩子们度过无聊的时光,还可以提高他们的反应速度和协调能力。然而,…

    教育百科 2024年10月5日

发表回复

您的邮箱地址不会被公开。 必填项已用 * 标注