复数取自然对数等于多少?教你如何求ln(a+bi)-值得收藏学习!(复数的自然对数)

今天我们来讨论一个非常有趣的问题,对于任意一个复数(a bi),取自然对数ln(a bi),其值是多少?

ln(a bi)=?

这里a,b不同时为0

ln(0)没有意义

复数取自然对数等于多少?教你如何求ln(a+bi)-值得收藏学习!(复数的自然对数)

要想解决这个问题,我们还是需要利用到强大的欧拉公式

欧拉公式:e^(ix)=cos(x) isin(x)

复数取自然对数等于多少?教你如何求ln(a+bi)-值得收藏学习!(复数的自然对数)

a bi=[√(a^2 b^2)]{a/√(a^2 b^2) [b/√(a^2 b^2)]i}

由于a,b不同时为0,可令:

r=√(a^2 b^2)>0

m=a/√(a^2 b^2)=a/r

n=b/√(a^2 b^2)=b/r

a bi=r(m ni)

我们为什么要提出一个系数r=√(a^2 b^2)呢?

因为我们想要使得:

m^2 n^2

=(a/r)^2 (b/r)^2

=a^2/r^2 b^2/r^2

=(a^2 b^2)/r^2

=(a^2 b^2)/(a^2 b^2)=1

m^2 n^2=1

而[cos(x)]^2 [sin(x)]^2=1

复数取自然对数等于多少?教你如何求ln(a+bi)-值得收藏学习!(复数的自然对数)

这样,我们总能找到一个合适的x,使得:

cos(x)=m,sin(x)=n

这里x只取主值,0≤x<2π


a bi=r(m ni)

=r[cos(x) isin(x)]

=re^(ix)

a bi=re^(ix)

a,b不同时为0

r=√(a^2 b^2)>0

cos(x)=m=a/r,sin(x)=n=b/r

0≤x<2π

复数取自然对数等于多少?教你如何求ln(a+bi)-值得收藏学习!(复数的自然对数)

ln(a bi)=ln[re^(ix)]

=ln(r) ln[e^(ix)]

=ln(r) ixln(e)

=ln(r) ix

最终结论:

ln(a bi)=ln(r) xi

a,b不同时为0

r=√(a^2 b^2)>0

cos(x)=a/r,sin(x)=b/r

0≤x<2π


最后我们来看几个例子。

例1:求ln(-1)

解:-1=-1 0×i

a=-1,b=0

r=√[(-1)^2 0^2]=√1=1

cos(x)=-1/1=-1,sin(x)=0/1=0

0≤x<2π,x=π

ln(-1)=ln(r) xi

=ln(1) πi=0 πi=πi

ln(-1)=πi

其实这个结论进一步推导即可得出著名的欧拉恒等式

ln(-1)=πi

e^(iπ)=-1

欧拉恒等式:e^(iπ) 1=0

复数取自然对数等于多少?教你如何求ln(a+bi)-值得收藏学习!(复数的自然对数)

例2:求ln(i)

解:i=0 1×i

a=0,b=1

r=√(0^2 1^2)=√1=1

cos(x)=0/1=0,sin(x)=1/1=1

0≤x<2π,x=π/2

ln(i)=ln(r) xi

=ln(1) (π/2)i=0 (π/2)i=πi/2

ln(i)=πi/2

复数取自然对数等于多少?教你如何求ln(a+bi)-值得收藏学习!(复数的自然对数)

例3:求ln(1 i)

解:1 i=1 1×i

a=1,b=1

r=√(1^2 1^2)=√2

cos(x)=1/√2=√2/2

sin(x)=1/√2=√2/2

0≤x<2π,x=π/4

ln(i)=ln(r) xi

=ln(√2) (π/4)i=ln(2)/2 (π/4)i

≈0.3467 0.7854i

ln(1 i)≈0.3467 0.7854i

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